Teori Himpunan

Definisi

—  Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
—  Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota
—  Cara Penyajian à enumerasi
—  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     
—  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.            
—  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
—  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
—  C  = {a, {a}, {{a}} }
—  K  = { {} }                                                                                                          
—  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }                

—  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Simbol-simbol Baku

—  P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }
—  N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }
—  Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
—  Q =  himpunan bilangan rasional
—  R =  himpunan bilangan riil
—  C =  himpunan bilangan kompleks
—  Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

—  Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Notasi Pembentuk Himpunan

•       Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
•       Contoh:
–     A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, ditulis
•       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5} atau
•       A  =  { x | x ϵ P, x < 5 } 
•       yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

                   -  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit}

Diagram Venn

        •       Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
        •       Diagram Venn:

                                        

Keanggotaan

        •       x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
        •       x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A

        •       Contoh

 

Kardinalitas

        •       Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
        •       Notasi: n(A) atau êA ê
        •       Contoh
–      B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
                maka ½B½ = 8
   -  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

                      -   A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3

Himpunan Kosong

•       Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

•       Notasi : Æ atau {}

•       Contoh

–      E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

–      P = { y | y adalah orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

•       himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

•       himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

•       {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

•       Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

•       Dalam hal ini,  A subset dari B atau B dikatakan superset dari A.

–      Notasi: A Í B

•       Contoh

–      { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

–      {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}

•       Diagram Venn

Himpunan yang Sama

•       A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

•       A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

•       Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A

•       Contoh

–      Jika A = { 3, 5, 8, 7 } dan B = {7, 5, 3, 8 }, maka A = B

–      Jika A = { 3, 5, 8, 7 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B

Himpunan yang Ekivalen

•       Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

•       Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

•       Contoh:

–      Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4

Himpunan yang Saling Lepas

•       Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

•       Notasi : A // B

                        Diagram Venn: 

Himpunan Kuasa

•       Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.                        

•       Notasi : P(A)

•       Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2^m.

•       Contoh

–      Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {Æ, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

–      Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah

                P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ}

                adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.